Materi Induksi dan Contoh Soal Induksi Matematika
Materi Induksi dan Contoh Soal Induksi Matematika - Dalam ilmu Matematika terdapat materi mengenai Induksi. Materi Induksi Matematika tersebut merupakan salah satu materi perluasan dari ilmu logika. Logika dalam Matematika tersebut ialah ilmu yang mengkaji tentang pernyataan bernilai benar ataupun salah, pernarikan kesimpulan dan ingkaran (ekuivalen) sebuah pernyataan. Untuk itu cara menyelesaikan contoh soal induksi biasanya menggunakan ilmu logika. Induksi dalam Matematika memang dijadikan sebagai metode pembuktian untuk menyatakan benar atau salah secara deduktif.
Proses pembuktian menggunakan induksi harus melalui aktivitas atau proses berpikir sesuai dengan pernyataan yang benar sehingga dapat menarik kesimpulan secara umum hingga berlaku pernyataan untuk kategori khusus. Dalam rumus induksi terdapat variabel yang digunakan untuk membuktikan sebuah anggota dalam himpunan bilangan asli. Dalam pembahasan kali ini saya akan menjelaskan tentang materi induksi dan contoh soal induksi Matematika. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak di bawah ini.
Sekian penjelasan mengenai materi induksi dan contoh soal induksi Matematika. Induksi merupakan salah satu materi perluasan dari ilmu logika yang digunakan untuk membuktikan rumus atau pernyataan yang bernilai benar. Semoga artikel ini dapat bermanfaat dan selamat belajar. Sumber http://materi4belajar.blogspot.com/
 |
| Materi Induksi Matematika |
Materi Induksi dan Contoh Soal Induksi Matematika
Dalam materi induksi Matematika terdapat beberapa langkah dalam menyelesaikan contoh soalnya. Adapun beberapa langkah dalam pembuktian rumus atau pernyataan menggunakan induksi yaitu sebagai berikut:
- Membuktikan pernyataan atau rumus tersebut benar menggunakan n = 1.
- Membuktikan pernyataan atau rumus tersebut benar menggunakan n = k.
- Membuktikan pernyataan atau rumus tersebut benar menggunakan n = k + 1.
Baca juga : Perkalian Vektor (Macam, Rumus, Sifat, dan Contoh Soal)
Contoh Soal Induksi Matematika
Buktikan bahwa 1³ + 2³ + 3³ + . . . + n³ = ¼ n² (n + 1)² !
Langkah 1
Langkah pertama dalam menyelesaikan contoh soal induksi Matematika ialah membuktikan n = 1. Maka :
1³ = ¼ (1)² (1 + 1)²
1³ = ¼ . 1 . 2²
1 = ¼ . 4
1 = 1 (Terbukti)
Langkah 2
Langkah selanjutnya dalam menyelesaikan contoh soal induksi Matematika ialah membuktikan n = k. Maka :
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ = ¼ k² (k + 1)²
Langkah 3
Langkah selanjutnya dalam menyelesaikan contoh soal induksi Matematika ialah membuktikan n = k + 1. Maka :
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ = ¼ k² (k + 1)²
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² ([k + 1] + 1)²
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² (k + 2)²
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ + (k + 1)³ = ¼ k² (k + 1)² + (k + 1)³ (kedua ruas ditambah (k + 1)³)
1³ + 2³ + 3³ + . . . + (k + 1)³ = (k + 1)² (¼ k² + (k + 1))
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ = (k + 1)
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² + (k² + 4k + 4)
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² + (k + 2) + (k + 2)
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² + (k +2)³ (Terbukti)
1³ = ¼ (1)² (1 + 1)²
1³ = ¼ . 1 . 2²
1 = ¼ . 4
1 = 1 (Terbukti)
Langkah 2
Langkah selanjutnya dalam menyelesaikan contoh soal induksi Matematika ialah membuktikan n = k. Maka :
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ = ¼ k² (k + 1)²
Langkah 3
Langkah selanjutnya dalam menyelesaikan contoh soal induksi Matematika ialah membuktikan n = k + 1. Maka :
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ = ¼ k² (k + 1)²
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² ([k + 1] + 1)²
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² (k + 2)²
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ + (k + 1)³ = ¼ k² (k + 1)² + (k + 1)³ (kedua ruas ditambah (k + 1)³)
1³ + 2³ + 3³ + . . . + (k + 1)³ = (k + 1)² (¼ k² + (k + 1))
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ = (k + 1)
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² + (k² + 4k + 4)
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² + (k + 2) + (k + 2)
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² + (k +2)³ (Terbukti)
Efek Domino
Cara membuktikan contoh soal induksi Matematika di atas dapat menggunakan efek domino. Efek ini akan memperlihatkan penjabaran dari satu persatu langkahnya. Berikut penjelasan selengkapnya:
Langkah pertama membuktikan contoh soal induksi Matematika yaitu n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar, dimana n = 1. Langkah ini mudah dilakukan, karena persamaan yang ada hanya tinggal dimasukkan nilai n = 1. Setelah itu deretnya dihitung sampai selesai.
"Kesimpulannya : n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar untuk n = 1"
Langkah 2
Langkah selanjutnya membuktikan contoh soal induksi Matematika yaitu n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar, dimana n = k dan n = k + 1. Pada langkah pertama n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar untuk n = 1, maka untuk n = 2 juga bernilai benar. Kemudian jika n = 2 benar, maka untuk n = 3, n = 4 dan seterusnya juga bernilai benar. Hal ini akan terus benar untuk n selanjutnya.
Membuktikan contoh soal induksi Matematika pada langkah pertama dan kedua dapat dinyatakan dalam bentuk premis. Untuk itu langkah kedua sebagai premis 1 dan langkah pertama sebagai premis 2. Maka hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:
Premis 1 : Jika n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = k, maka n³ = ¼ n² (n + 1)² juga benar untuk n = k+1
Premis 2 : n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = 1
Kesimpulan : n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = 2 (Hal ini dikarenakan pada langkah di atas terdapat persamaan k = 1, maka k + 1 sama dengan nilai 2)
Lanjutan dari kesimpulan contoh soal induksi Matematika di atas kemudian dijadikan sebagai premis ke 2 dalam teknik yang sama. Maka hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini :
Premis 1 : Jika n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = k, maka n³ = ¼ n² (n + 1)² juga benar untuk n = k+1
Premis 2 : n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = 2
Kesimpulan : n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = 3
Penggunaan premis dalam contoh soal induksi Matematikan tersebut akan berlanjut sampai nilai n seterusnya. Dengan kata lain apabila dilanjutkan prosesnya, maka akan memperoleh kesimpulan n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar bagi semua n yang termasuk bilangan asli.
Hal ini membuktikan bahwa Induksi Matematika berhubungan erat dengan efek domino. Kita dapat melihat efek domino, jika domino pertamanya dijatuhkan maka secara bergantian domino keseluruhan akan jatuh pula. Untuk itu efek ini ada kaitannya dalam pembuktian rumus menggunakan induksi.
Pembahasan.
Langkah 1
Langkah pertama dalam menyelesaikan contoh soal induksi Matematika ialah membuktikan n = 1. Maka :
Langkah 2
Langkah selanjutnya dalam menyelesaikan contoh soal induksi Matematika ialah membuktikan n = k. Maka :
Baca juga : Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran Beserta Contoh SoalLangkah 1
Langkah pertama membuktikan contoh soal induksi Matematika yaitu n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar, dimana n = 1. Langkah ini mudah dilakukan, karena persamaan yang ada hanya tinggal dimasukkan nilai n = 1. Setelah itu deretnya dihitung sampai selesai.
"Kesimpulannya : n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar untuk n = 1"
Langkah 2
Langkah selanjutnya membuktikan contoh soal induksi Matematika yaitu n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar, dimana n = k dan n = k + 1. Pada langkah pertama n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar untuk n = 1, maka untuk n = 2 juga bernilai benar. Kemudian jika n = 2 benar, maka untuk n = 3, n = 4 dan seterusnya juga bernilai benar. Hal ini akan terus benar untuk n selanjutnya.
Membuktikan contoh soal induksi Matematika pada langkah pertama dan kedua dapat dinyatakan dalam bentuk premis. Untuk itu langkah kedua sebagai premis 1 dan langkah pertama sebagai premis 2. Maka hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:
Premis 1 : Jika n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = k, maka n³ = ¼ n² (n + 1)² juga benar untuk n = k+1
Premis 2 : n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = 1
Kesimpulan : n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = 2 (Hal ini dikarenakan pada langkah di atas terdapat persamaan k = 1, maka k + 1 sama dengan nilai 2)
Lanjutan dari kesimpulan contoh soal induksi Matematika di atas kemudian dijadikan sebagai premis ke 2 dalam teknik yang sama. Maka hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini :
Premis 1 : Jika n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = k, maka n³ = ¼ n² (n + 1)² juga benar untuk n = k+1
Premis 2 : n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = 2
Kesimpulan : n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = 3
Penggunaan premis dalam contoh soal induksi Matematikan tersebut akan berlanjut sampai nilai n seterusnya. Dengan kata lain apabila dilanjutkan prosesnya, maka akan memperoleh kesimpulan n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar bagi semua n yang termasuk bilangan asli.
Hal ini membuktikan bahwa Induksi Matematika berhubungan erat dengan efek domino. Kita dapat melihat efek domino, jika domino pertamanya dijatuhkan maka secara bergantian domino keseluruhan akan jatuh pula. Untuk itu efek ini ada kaitannya dalam pembuktian rumus menggunakan induksi.
Baca juga : Rumus Persamaan Eksponen Beserta Contoh Soal Eksponen
Contoh Soal Induksi Matematika Lainnya
Buktikan bahwa 
habis di bagi 5!
habis di bagi 5!Langkah 1
Langkah pertama dalam menyelesaikan contoh soal induksi Matematika ialah membuktikan n = 1. Maka :
Langkah 2
Langkah selanjutnya dalam menyelesaikan contoh soal induksi Matematika ialah membuktikan n = k. Maka :
Langkah 3
Langkah selanjutnya dalam menyelesaikan contoh soal induksi Matematika ialah membuktikan n = k + 1. Maka :
Belum ada Komentar untuk "Materi Induksi dan Contoh Soal Induksi Matematika"
Posting Komentar